Curiosidades de π

Curiosidades de π: "

En distintas culturas, china, egipcia, europea, india, etc., se trato de obtener mejores aproximaciones de Pi por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la construcción.

Muchos de los intentos de evaluar Pi en la antigüedad utilizaban el método de calcular el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos a circunferencias.

Modernamente para evaluar Pi se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi2

Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (Pi-2)/4

En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal”, publicada en 1748, le dio el espaldarazo definitivo.

Muchos intentos para determinar Pi con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo : “construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado”.

Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó que Pi es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional. Números racionales son : 1, 2 , 3/4, 17/23)

Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que Pi es un número trascendental. Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando.

El matemático alemán Ludolph van Ceulen(1540-1610) pidió que, como epitafio, escribiesen en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman a Pi el número ludofiano.

William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de Pi.(En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de este todos los demás eran incorrectos)

En 1949 uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determino Pi con 2037 decimales.

En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.

En 1961 Daniell Shanks(sin relación con William Shanks) y Wrench, obtuvieron en 8 h 23 min, 100.265 cifras en un IBM 7090.

En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada, en menos de 30 h, en un HITAC M-280 H obtuvieron 16.777.206 (224) cifras.

En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras , utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

Simon Newcomb, astrónomo y matemático americano, dijo en una ocasión que treinta cifras decimales de Pi darían la circunferencia del universo visible hasta una cantidad que sería imperceptible incluso con el más potente telescopio.

Una buena aproximacion de π es , fue usada por primera vez en China e India.

El sumatorio infinito convergente que diseño Leibniz es elñ siguiente:

Una de varias reglas mnemotécnicas para π es:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

La siguiente tabla indica algunas aproximaciones a π hasta 1424:

Año	Matemático o documento	Cultura	Aproximación	Error (en partes por millón)
~1900 a. C.	Papiro de Ahmes	Egipcia	28/34 ~ 3,1605	6016 ppm
~1600 a. C.	Tablilla de Susa	Babilónica	25/8 = 3,125	5282 ppm
~600 a. C.	La Biblia (Reyes I, 7,23)	Judía	3	45070 ppm
~500 a. C.	Bandhayana	India	3,09	16422 ppm
~250 a. C.	Arquímedes de Siracusa	Griega	entre 3 10/71 y 3 1/7 empleó 211875/67441 ~ 3,14163	<402 ppm 13,45 ppm
~150	Claudio Ptolomeo	Greco-egipcia	377/120 = 3,141666…	23,56 ppm
263	Liu Hui	China	3,14159	0,84 ppm
263	Wang Fan	China	157/50 = 3,14	507 ppm
~300	Chang Hong	China	101/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~500	Zu Chongzhi	China	entre 3,1415926 y 3,1415929 empleó 355/113 ~ 3,1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	India	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	India	101/2 ~ 3,1623	6584 ppm
~800	Al-Juarismi	Persa	3,1416	2,34 ppm
1220	Fibonacci	Italiana	3,141818	72,73 ppm
1400	Madhava	India	3,14159265359	0,085 ppm
1424	Al-Kashi	Persa	2π = 6,2831853071795865	0,1 ppm

Nota original

Efecto Túnel o Cómo la Cuántica se Ríe de Tí

Efecto Túnel o Cómo la Cuántica se Ríe de Tí: "

Por G de Galleta

El mundo cuántico está repleto de comportamientos y sucesos que escapan, no ya a la intuición, sino en gran medida a la comprensión de los mismos. Einstein renegó de ese mundo complejo y extraño, y dedicó muchos esfuerzos a intentar derrocar la teoría que él mismo contribuyó a crear (gracias al efecto fotoeléctrico). La paradoja EPR probablemente fuese uno de sus intentos más conocidos y casi exitosos para ello.

Pero lo cierto es que no lo consiguió. La mecánica cuántica se ha mantenido imbatible ante los ataques que ha sufrido, simplemente porque explica lo que ocurre en la realidad. El problema es interpretar esos resultados, entender qué significan realmente esos experimentos. En esta entrada hablaremos de uno de los efectos cuánticos más extraños, más útiles y peor explicados (a nivel divulgativo) de la física cuántica. El efecto túnel.

En pocas palabras, el efecto túnel permite que un electrón (o partícula cuántica) penetre en y atraviese una zona que, en principio, estaría prohibida. ¿Y a qué nos referimos con esto? Cuando decimos que la zona está prohibida para el electrón, nos referimos a que el electrón no tiene suficiente energía cinética (la que tiene debido a su velocidad, por hacer un análogo clásico) para atravesar esa zona, porque hay un potencial eléctrico, por ejemplo, que debería impedir su paso por ahí. Por poner un ejemplo más visual: supongamos que tenemos un cable conectado a una pila y una bombilla, formando un circuito, todo en el vacío, sin aire.

Imaginemos que la bombilla es una bombilla especial, de super-mega-bajo consumo, de tal manera que con que un solo electrón atraviese el filamento, ya se iluminaría.

Entonces cortamos un trocito de cable, de forma que la bombilla se apaga. Si pusiésemos los dos trozos de cable muy cerca, pero sin tocarse, la física clásica nos diría que no pasarían electrones a través del vacío, de forma que la bombilla no se encendería.

Sin embargo, según las leyes de la mecánica cuántica, el electrón podría pasar a través del vacío, saltando de uno a otro y pasando por esa “zona prohibida” en la que no hay material conductor por el que moverse. Ese es precisamente el efecto túnel.¿Y podríamos ver que se enciende la bombilla? Bueno, pues realmente no por varios motivos. El primero es que el efecto túnel no se produce siempre: como en todos los efectos cuánticos, estamos trabajando con probabilidades, por lo tanto, podremos calcular la probabilidad de que el electrón atraviese el vacío, pero no ocurrirá con todos los electrones que pasen por el cable, así que no se llegaría a encender la bombilla de forma continua.

Electrón grabado en la Universidad de Lund (pulsar para ver el video)

Por otro lado, este efecto depende de manera crítica de la distancia que tiene que atravesar el electrón, del ancho de esa distancia prohibida. La dependencia es exponencial decreciente con la distancia, esto es, que en cuanto aumenta la distancia la probabilidad de que ocurra disminuye exponencialmente. Matemáticamente (y que nadie se asuste con la fórmula) se puede poner como e^-2ks donde k esta relacionado con el momento del electrón (algo así como su velocidad) y S es la distancia que tiene que atravesar, es decir, el tamaño del espacio “prohibido” que debe superar.

Este comportamiento exponencial hace que observar este efecto sea realmente difícil.

Ahora uno se pregunta: ¿cuándo se produce, cómo se descubrió, cómo podemos observarlo?

Pues bien, se produce a nivel microscópico, lo que significa que no podemos observarlo de forma directa (el ejemplo anterior era una idealización, y no existen bombillas tan sensibles al paso de los electrones, ni siquiera en Ikea). De hecho, para observarlo (más exactamente, medirlo) experimentalmente, hubo que esperar al microscopio de efecto túnel en 1981.

En cuanto a cómo se descubrió, puedo decir que es una consecuencia de la ecuación de Schrödinger, y el primero que lo predijo fue Richard Feynman . Esta ecuación es la más básica que uno puede encontrar para predecir el comportamiento de un electrón, y su solución nos proporciona una fórmula para determinar la probabilidad de que una partícula se encuentre en un lugar determinado. Cuando uno la resuelve para el caso en el que hay una barrera de potencial, o zona prohibida para el electrón, entre dos zonas permitidas (el ejemplo del cable cortado), obtenemos una probabilidad distinta de cero de que atraviese de uno a otro. Es decir, el efecto túnel. No voy a entrar en detalles matemáticos, porque creo que sólo van a confundir más que ayudar, y aquél que quiera profundizar puede consultar la bibliografía.

Ahora bien, creo que puede ser difícil imaginar un ejemplo de una barrera de potencial. De hecho, este es uno de los motivos por los que creo que este efecto está mal explicado a nivel divulgativo. Generalmente, lo que suelen hacer los divulgadores (lo que yo he leído), es compararlo con el caso de una pelota y una colina. Veamos: suponen que lanzamos una pelota colina arriba. Si no le damos suficiente impulso, la pelota no tendrá energía para subir a lo alto de la misma, y luego bajar debido a la gravedad, así que nunca llegará al otro lado. Ahora bien, dicen, cuando tratamos el mundo cuántico, hay una probabilidad no nula de que la pelota pase “a través de la colina” y aparezca en el otro lado, aunque no tuviese energía suficiente.

El problema que le veo a esta explicación, es que conduce a un error que he visto que comete mucha gente, y que yo mismo cometí antes de estudiar la carrera. A saber: uno cree que la cuántica permite que la materia se atraviese, de tal forma que si pudiésemos producir ese efecto a nivel macroscópico, podríamos atravesar paredes y cosas así. ERROR.

En realidad la cuántica no dice que la materia pueda atravesarse. El símil no me parece correcto, porque una barrera de potencial no tiene masa. Sería más correcto decir que es un campo de fuerza que impediría que la partícula pasase por allí. Estoy seguro que el que propuso ese ejemplo (que no recuerdo en qué libro lo leí, lo siento), estaba pensando en el potencial gravitatorio que existe entre la parte baja y la alta de una colina, pero la gente que no está entrenada, fácilmente puede confundir la colina en sí y su materia o masa, con el potencial, que es lo único que nos interesaría en la explicación.

Pensándolo bien, podría hacerse un ejemplo con los Jedis. Podríamos imaginar que Han Solo, que no es Jedi, tiene la habilidad de sufrir efecto tunel en todo su cuerpo al mismo tiempo. Si un Jedi generase un campo de fuerza a su alrededor para “encarcelarle” (un Jedi del Lado Oscuro, claro), Han Solo, cuál electrón de 85 kg, podría atravesar el campo y salir, libre, al otro lado, gracias al efecto túnel. Eso es esencialmente lo que hacen los electrones en los microscopios de efecto túnel, y eso es lo que nos dice que deben hacer, la ecuación de Schrödinger.

Después de todo este rollo, alguien se puede preguntar que para que sirve esto, además de lo puramente académico. Como ya he ido comentando, existe un aparato que se llama Microscopio de Efecto Túnel, cuya invención les supuso el Nobel a Gerd Binning y Heini Rohrer. ¿Cómo funciona? Consiste en una punta metálica extremadamente pequeña, que se acerca al material que queremos observar hasta algo menos de 5 amstrongs. Entre la punta y el material, que debe ser conductor o semiconductor, se crea una pequeña diferencia de potencial (la barrera propiamente dicha) y se mide la microcorriente que se genera. Entonces, como sabemos de qué manera depende el efecto túnel de la distancia, podemos calcular esa distancia entre el último átomo de la punta, y la muestra. Así, haciendo que la punta se mueva por la superficie barriendola, obtenemos un mapa en relieve de la misma. Las imágenes tienen resoluciones atómicas. Además, la mayoría de STM permiten, cambiando la diferencia de potencial y haciéndola suficientemente fuerte, manipular átomos a nivel individual, tal y como hicieron en IBM. Pero en esto último, no interviene el efecto túnel.

Primera imagen generada y obtenida con un microscopio de efecto túnel por los laboratorios de IBM.

Dejo algunos enlaces a otros blogs y páginas que hablan también de este sorprendente efecto, y que seguro que explican más cosas que yo no he hecho. Así que no os quedéis con la curiosidad sin satisfacer:

Microscopio de efecto túnel:

• Wikipedia, no podía faltar


• Comentario sencillo y bien explicado de cómo funciona el STM


• Página de IBM en la que hablan también de corrales cuánticos y tienen sorprendentes imágenes


• Instituto de Nanociencia de Aragón

Efecto Túnel:

Aquí no queda más que poner algo de bibliografía más formal, por si alguien quiere consultarla:

• Física Cuántica. Carlos Sánchez del Río. Un clásico que requiere conocimientos algo avanzados de matemáticas y algo de física.


• Curso abreviado de física teórica, vol. 2. Landau y Lifshitz. Algo más avanzado que el anterior.


• El siempre recomendable Francis the Mule hablando de nuevos detalles del efecto túnel

Varios:

• Interesante historia de lo que le ocurriría a un hombre que disminuyese su tamaño, ¿qué se encontraría?


• Vista global a los avances y posibilidades de la nanotecnología


• Artículo sobre nanomáquinas que podrían aprovecharse del efecto túnel para funcionar mejor


• Sobre Richard Feynman, mi americano favorito I, II y III


• Y una recopilación de algunas citas de Feynman

Nota original.

¿Tanto para un cero?

¿Tanto para un cero?: "

Poco después del último récord de cálculo de decimales de , nos encontramos con un nuevo récord, pero de naturaleza distinta. Nicholas Sze, de Yahoo, ha calculado el dígito 2000 billones de y algunos de los cercanos a él. Pero para ello no ha calculado todos los anteriores, sino que ha utlizado ciertas técnicas para calcular partes de .

Para este cálculo ha utilizado 1000 ordenadores de Yahoo durante 23 días, aunque en realidad el cálculo ha supuesto 503 años en tiempo de CPU (casi nada). Para ello, Nicholas utilizó MapReduce, de Google (curioso, ¿verdad?), cuya utilidad es dividir ciertos problemas en otros menores para después combinar los resultados obtenidos. Al final, lo que Nicholas consiguió calcular fueron los decimales de desde la posición 1999999999999997 hasta la posición 2000000000000252.

Ah, por cierto, el decimal de que ocupa la posición 2000 billones es…un cero. Después de concoer este dato, más de un alumno mío pondría cara de asombro y pronunciaría la frase que titula esta entrada:

¿Tanto para un cero?

Más información en esta entrada de Microsiervos.

Nota original.

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras: "

Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.

Introducción

Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.

Demostración mediante teselaciones del plano

Una teselación del plano es un forma de colocar figuras en una superficie plana de tal forma que dichas figuras no se superpongan y ademas no queden huecos sin cubrir.

Para esta demostración realizamos una teselación del plano con cuadrados de dos tamaños distintos como se puede ver en la Figura 1:

Figura 1: Teselación del plano con cuadrados de dos tamaños

Si marcamos ahora los centros de los cuadrados mayores y los unimos tendremos un conjunto nuevo de cuadrados de un tamaño algo mayor que los otros de tal forma que estos cuadrados constituyen otra teselación del plano. Podemos verlo en la siguiente imagen:

Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, inclinados en un determinado ángulo.

De hecho ocurre lo mismo se elegimos cualquier otro punto de los cuadrados mayores o de los menores.

Si se eligen las esquinas de los cuadrados, la estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que la anterior, sólo que desplazada mediante una traslación con respecto a los cuadrados de la Figura 1. La siguiente figura nos aclara este punto:

Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

Además tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla:

El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas y el grande con las otras tres.

Figura 4

Para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores (esto es, por las líneas que forma los cuadrados de la teselación inicial) pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños, como puede verse en la figura de la derecha.

Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos dicho que el área del cuadrado inclinado es igual a la suma de las áreas de los cuadrados iniciales. Llamemos al lado del cuadrado menor inicial, al lado del cuadrado mayor inicial y al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son, respectivamente, y . Y en consecuencia tenemos que .

Fijémonos ahora en el triángulo sombreado de la Figura 3. Su hipotenusa es el lado del cuadrado inclinado, es decir, . Y sus catetos son y . Además, por la colocación de los cuadrados iniciales, el triángulo es rectángulo. Por lo comentado antes sobre la relación de las áreas de los tres cuadrados ya tenemos demostrado el teorema de Pitágoras:

Demostración mediante figuras semejantes

Tomamos un triángulo rectángulo y lo dividimos en dos triángulos trazando la altura del mismo desde el vértice del ángulo recto (es decir, perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto). Es sencillo ver que los tres triángulos son semejantes entre sí (informalmente hablando, porque los tres tienen la misma forma pero diferentes tamaños). Vamos a ver la explicación que da Penrose en su libro sobre la deducción del teorema de Pitágoras a partir de dicha estructura:

Una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, es decir, su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de Pitágoras!

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.

Vamos a explicar un poco todo esto. Consideremos la figura anteriormente mencionada nombrando los lados del triángulo original como se puede ver en la Figura 5.

Llamemos al área del triángulo original y a las áreas correspondientes a los triángulos y . Por tanto, .

Como dichos triángulos (los pequeños) son semejantes, tenemos que las proporciones entre el área de cada uno de ellos y el cuadrado de su hipotenusa son iguales, esto es:

Pero por las propiedades de las fracciones, si tenemos dos fracciones iguales entonces cada una de ellas es igual a la fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores, esto es:

La última igualdad es cierta debido a que la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es el área del triángulo mayor.

Por otro lado, el triángulo inicial y el triángulo también son semejantes, por lo que cumplen una relación parecida, es decir:

Y uniendo la información proporcionada por las dos igualdades anteriores obtenemos lo siguiente:

Por tanto , esto es, hemos demostrado el teorema de Pitágoras.

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Fuente:

• El camino a la realidad, de Roger Penrose.

Entrada original.

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia: "

Esta mañana los laboratorios donde Fujitsu investiga sobre las tecnologías que serán cotidianas en el futuro han anunciado su nuevo sistema de recarga inalámbrica por resonancia.

Cuando algunos empiezan ya a acostumbrarse a los sistemas por inducción Fujitsu se ha descolgado con una alternativa también inalámbrica pero que usa una distinta tecnología. Además parece ser que esta transferencia por resonancia podría reducir los tiempos de carga a una centésima parte del tiempo habitual. ¿Deseas saber más?

El método de resonancia magnética sustituye a la inducción magnética que ya empieza a tener adeptos en la industria.

Al parecer las ventajas serían un menor tamaño de los componentes y la posibilidad de reducir los tiempos de carga en una proporción de 150 a 1. Otra ventaja sería la de permitir recargar distintos aparatos al mismo tiempo independientemente de la posición que ocupen en la superficie de recarga.

Fujitsu está planeando el lanzamiento de esta tecnología al mercado de los móviles para el año 2012 pero también continúa la investigación para su aplicación en el campo de los vehículos eléctricos. ─Antonio Rentero [Akihabara News]

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En que falla la Mecánica Clásica II

En el post anterior les mostré donde es que falla la mecánica clásica, en este post voy a intentar de explicar cual es la solución que propuso Einstein.
Volvamos al ejemplo, tenemos un tren que viaja sobre unas vias a una velocidad constante.
Tratemos de medir una parte del tren, para eso tomamos como punto de referencia al mismo tren, y lo medimos con una regla, ¿que pasa si queremos medir la misma porción de tren pero tomando como referencia la vía? A priori no podemos decir que la longitud del tren medido desde la vía de el mismo resultado que la longitud del tren medida desde el tren, esta afirmación la podemos hacer ya que por ejemplo la luz no recorre la misma distancia, en una cantidad de determinada, tomando como referencia al tren o a la vía (esto se deduce del post anterior).
La pregunta que nos hacemos es ¿como hay que modificar el razonamiento la eliminar las contradicciones anteriores? O sea, ¿cabe hallar alguna relación entre las posiciones y tiempos de los distintos sucesos con relación a ambos cuerpos de referencia, de manera que todo rayo de luz tenga la velocidad de propagación c respecto a las vías y respecto al tren?
Para solucionar estos problemas Einstein utilizo formulas ya existentes en el campo de la electrodinamica, las llamadas transformaciones de Lorentz.
Vayamos a las formulas, si tenemos x,y,z,t de un suceso respecto a K, ¿cuales son las coordenadas x´,y´,z´,t´ con respecto a K´del mismo suceso?



Como muestra la formula a velocidades bajas con respecto a la velocidad de la luz la aproximación que hace la mecánica clásica son buenas =D.
Pueden hacer las cuentas en cuanto difiere x de x´.
En próximos post vamos a analizar un poco mas y mejor estas transformaciones.

En que falla la Mecánica Clásica

Hace poco, por no decir un rato, termine de leer el excelente libro escrito por Albert Einstein titulado "Sobre la Teoría de la Relatividad". En el explica un poco lo que voy a tratar de escribir en este momento.
Como siempre la física se hace mucho mas fácil de explicar a través de un ejemplo, supongamos que tenemos un vagón de ferrocarril que viaja a una velocidad constante sobre unas vías y están rodeados de vacío. Vamos a tomar dos sistemas de referencias, uno sobre las vías que lo llamamos K y otro sobre el vagón que lo vamos a llamar K´. También sabemos que el vagón viaja a una velocidad v respecto al sistema de referencia K. Al mismo tiempo hay una persona sobre el vagón que camina a una velocidad w respecto al sistema de referencia K´.
Según la Mecánica Clásica, si queremos averiguar cual es la velocidad de la persona respecto al sistema de referencia K la ecuación que tenemos que resolver es,

W = v + w

Ahora, el vagón de ferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la misma dirección en que se propaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho más despacio. Lo que nos interesa averiguar es la velocidad de propagación del rayo de luz respecto al vagón. La formula tiene la misma forma que la anterior, siendo w la velocidad de la luz respecto a K´,

w = c - v

En este caso w va a ser menor que c, o sea, la velocidad de propagación de la luz en el vacío respecto a nuestro sistema de referencia K´ es menor a la velocidad de propagación de la luz en el vacío... Obviamente acá esta el problema! Ya que existe la ley de propagación de la luz en el vacío! esta ley lo que dice es que la velocidad de la luz (300000 Km/s) es constante en el vacío y no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor.
Para solucionar esta contradiccion es que Einstein desarrolló la Teoría de Relatividad General que en próximos post tratare de ir explicando.

Viajando en el tiempo

La mayoría de las personas sueñan con la posibilidad de viajar en el tiempo, pero realmente ¿a que se refieren con viajar en el tiempo? ¿que es el tiempo para ellos? ¿al viajar en el tiempo estamos presuponiendo la presencia física del pasado o el futuro, como se hace para viajar a algo que no existe? ¿que es viajar?.
Pensemos un segundo, que es viajar? Por ejemplo, si vamos de una ciudad a otra estamos viajando, entonces definamos Viajar como trasladarse de un lugar a otro.
Si tomamos al tiempo como la cuarta dimensión del espacio, que es viajar en el tiempo? Ni mas ni menos estamos hablando de trasladarnos de un "momento" a otro, ya que el tiempo, como esta definido en nuestra cultura, siempre avanza y no lo podemos detener, sin ninguna duda podemos decir que estamos en un continuo movimiento en el tiempo, es mas! podemos decir que estamos en un constante viaje hacia el futuro! Ok, no de la forma que nos gustaría o imaginábamos, o sea, no queremos esperar 1 hora para viajar 1 hora hacia el futuro.
Antes de ponernos a analizar como nos permite la física controlar el tiempo para movernos en él de la misma manera que lo hacemos en el espacio les propongo pensar las concecuencias filosóficas que esto tiene.
Si queremos viajar al pasado, lo primero que tenemos que tener en cuenta es que ese pasado debe existir físicamente, lo segundo es aun mas importante! tratar de no entrar en un paradoja que destruya todo el universo... por ejemplo matar a tu abuelo antes de que tu padre nazca, con eso lograrías que vos nunca existas en el presente, por lo tanto nunca podrías haber viajado al pasado para matar a tu abuelo...
Hay diferentes filosofias sobre el tiempo, las mas "populares" son el Presentismo, el Posibilismo y el Eternalismo.

El Presentismo, sólo se consideran las tres dimensiones de espacio, y no al tiempo como una cuarta, e ahí que aquí al tiempo se lo conciba de naturaleza distinta al espacio: en una dimensión hay extensión (podemos saltar de abajo a arriba y viceversa); pero si en el tiempo no hay extensión (porque lo único que existe es el presente, que es un límite, un punto) no podemos decir que es una dimensión.
Según este pensamiento la única manera de viajar en el tiempo es mediante la dilatación del tiempo, para esto es necesario adquirir una velocidad cercana a la de la luz, con respecto a los demás (o estar cerca de un campo gravitatorio intenso, según la Relatividad General) para que nuestro tiempo se dilate; cuando frenáramos veríamos que en el mundo ha transcurrido un tiempo mucho mayor al que estuvimos viajando.

El Posibilismo, plantea que el presente y el pasado tienen una realidad física, mientras que el futuro es solo una posibilidad. A diferencia del Presentismo, aquí el tiempo sí es una dimensión (tiene extensión), pero de naturaleza distinta al espacio, ya que se trata de una dimensión que está en constante crecimiento, expansión y flujo. Para entender un poco mejor esta teoría recordemos que el universo tiene 4 dimensiones espaciotiempo. Según el Posibilismo, el espaciotiempo es incompleto, y se va ‘construyendo’ mediante flujo del tiempo. Esto quiere decir que el futuro no está determinado y que cualquier posibilidad puede tener lugar. Notemos que este argumento se ve reforzado por las Relaciones de Indeterminación de Heisenberg (o “principio de incertidumbre”), que dice que cuanto más determinada está la posición de una partícula, menos determinada estará su velocidad y viceversa, lo que demuestra que, a grandes rasgos, el desenlace de los sucesos no está determinado por las condiciones iniciales.
Acá sigue siendo totalmente valida la forma de viajar planteada en el Presentismo, lo que nos sigue faltando es alguna manera de viajar inmediatamente al futuro, lo que si se hace posible es viajar inmediatamente a cualquier momento del pasado.

El Eternalismo, esta es la postura mantenida por Einstein, tanto el pasado, como el presente y el futuro, existen físicamente, formando la cuarta dimensión que constituye el espaciotiempo. Como hemos visto en artículos anteriores, la Teoría de la Relatividad nos muestra que el tiempo es sólo otra dimensión más de espacio. Decir que, por ejemplo, el pasado es más real que el futuro, es como decir que la derecha es más real que la izquierda. Considerar el tiempo como la cuarta dimensión del espaciotiempo, significa que debemos olvidarnos de la idea clásica de que el mundo es algo tridimensional que se va modelando con el tiempo. Los cuerpos se extienden no en tres sino en cuatro dimensiones. Para fijar ideas, el Universo “visto desde afuera” sería como un bloque estático, inmóvil, en donde se podría observar todo su desarrollo en lo que nosotros llamamos tiempo, con sólo dirigir la vista sobre una de las cuatro dimensiones que lo forman. Según la Relatividad, no hay nada que distinga el tiempo del espacio; el tiempo simplemente no ‘fluye’, como no fluyen las demás dimensiones de espacio. Quizá ese ‘fluir’ sea estudio de la Psicología, no de la Física, según el Eternalismo. Esto no quiere decir de ninguna manera que el tiempo como tal “no exista”; sabemos que es una dimensión más y que el pasado y futuro forman parte del espaciotiempo, pero el ‘flujo’, que lo distingue del espacio, aún no lo comprendemos.

Acomodemos un poco las ideas,
- Si el Presentismo es cierto, la única forma posible de viaje en el tiempo es el viaje al futuro mediante dilatación (esto es, la dilatación del tiempo que se adquiere al moverse a velocidades cercanas a la de la luz).
- Si el Posibilismo es cierto, es coherente lo anterior y además podemos plantearnos la posibilidad del salto instantáneo al pasado.
- Si el Eternalismo es cierto, es coherente todo lo antedicho y además el salto instantáneo al futuro.

Lamentablemente hoy la única manera de viajar al futuro ir descrubiendolo momento a momento =D.

El molino de luz (Radiómetro de Crookes)

El Radiómetro de Crookes es un curioso invento que consiste en una lamparita con el bulbo hacia arriba. Y en su interior tiene un eje vertical haciendo equilibrio sobre la punta de una aguja con cuatro paletas, plateadas de un lado y negras del otro.

El inventor es este elemento fue el científico Sir Williams Crookes, quien al tratar de utilizar una balanza al vació muy precisa noto que las mediciones variaban si la balanza estaba expuesta al sol. Entonces Crookes creo el radiómetro con la finalidad de demostrar que la luz se comportaba como partículas y como ondas al mismo tiempo.

Esto iba a suceder ya que la luz, al golpear la cara negra y la plateada al mismo tiempo, terminaría ejerciendo presión sobre la plateada, ya que ésta es la que refleja la luz, y la negra la absorbe.

Pero por alguna razón, el molino, al ser expuesto a la luz, gira con la parte negra atrás, como se puede ver en ese video.



Luego vino Piotr Lébedev, un ruso que hizo la deducción lógica que si la presión de la luz era la responsable del giro del aparato, cuanto menos presión de aire tuviese giraría más rápido, ya que habría menos aire que lo frenase. Por lo que en 1901, con una bomba de mejor calidad extrajo más aire aun y notó que llegaba un punto en el que no giraba más. Y de paso midió la presión de la luz con otro aparato más complejo, descubriendo que era tan pequeña que era imposible que hiciese girar al molinillo de ese modo.

Entonces? que es lo que hace girar al molino?
Se comenzó a esgrimir una teoría que decía que la luz calentaba las caras negras, excitando el gas de su superficie y haciendo que la vibración de éste empuje las paletas. Pero esto no tendría sentido porque aunque se movían más violentamente, disminuían su densidad, por lo que se equilibraría la fuerza ejercida por las moléculas de los dos lados de cada aspa.

El mismo Einstein se metió en esto también, y demostró que aunque la presión no se equilibraría exactamente de ambas caras en los bordes de las aspas, la fuerza resultante no alcanzaría para hacer girar tan rápidamente el molinillo.

Finalmente, la estuvo Osborne Reynolds que descubrió el efecto de transpiración térmica: que en superficies porosas, el gas fluye del lado frío al caliente. Y aunque las aspas de la vela no sean porosas, los bordes podrían generar un efecto similar a una porosidad.

Se puede llegar a la conclucion de que las aspas giran un poco por lo explicado por Einstein y otro poco por lo de Osborne, pero en realidad al día de hoy no se tiene la menor idea de que es lo que hace girar las aspas...

¿Que es la materia oscura?

Hoy me cruce con este interesante articulo que explica en forma de dialogo que es la materia oscura, y cuenta alguna de sus propiedades.
El articulo fue escrito por Miguel Santander García.

¿Cómo funciona el pájaro bebedor?

Quien no tiene un pájaro bebedor? Yo conozco muchas personas que si! y muchas veces surgieron varios debates sobre como hace para ponerse en forma horizontal. Por suerte para nosotros encontré un articulo que lo explica, la clave para el funcionamiento es tener un liquido muy volátil, modificar la temperatura para crear un proceso adiabático y dejar que el pájaro se mueva libremente.
El liquido normalmente utilizado es CF3CHCl2 que tiene un punto de ebullición de 28ºC.
Entonces hay que hacer en mojar la cabeza del pájaro con un poco de agua y luego esperar, al rato parte del agua se empieza a evaporar esto hace que disminuya la temperatura del aire que ocupa la cabeza, debido a que la presión es directamente proporcional a la temperatura y a que el líquido está próximo a su temperatura de ebullición, se establece una gran diferencia de presión entre la cabeza y la base.
La mayor presión que existe en la base del pájaro obliga al liquido a subir hasta la cabeza, esto hace que el pájaro de pierda el equilibrio y se ponga en posición horizontal. En esa posición el pájaro volvió a meter la cabeza en el agua, ahí es cuando uno de los tubos de vidrio queda al descubierto y se pueden igualar las presiones de los dos extremos y vuelve el pájaro a la posición vertical para que nuevamente se evapore el agua de su cabeza y se vuelva a repetir el proceso.

El significado de los signos matemáticos

La gente de Epsilones generaron un excelente articulo donde describen el origen y significados de los signos matemáticos. Entre las diferentes explicaciones podemos encontrar la pi, e, Cero, Conjunto vacío, etc.
Una en particular me parcio curiosa la del signo Igual,

Igual

Este signo se debe a Robert Recorde, que empezó a utilizarlo en 1557. Explicó su elección diciendo: "Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de una misma longitud, así: ======, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales". Posteriormente, la rutina se encargó de acortar las paralelas.

A disfrutarlo!

El universo se expande a 74.2 km/sec/Mpc

"Adam Riess y su equipo observó un buen número de galaxias de esta forma, y figura sólo la rapidez con que el Universo está creciendo a una precisión sin precedentes. His result: 74.2 ±3.6 kilometers/second/megaparsec . Su resultado: 74,2 ± 3,6 km / segundo / megaparsec. That means for every megaparsec (about 3 million light years) you go out, the Universe is expanding 74.2 km/sec faster. Eso significa que por cada megaparsec (unos 3 millones de años luz) de salir, el Universo se está expandiendo 74,2 km / seg más rápido. So a galaxy 10 Mpc away would be moving away from us at 742 km/sec. Por lo tanto, una galaxia 10 Mpc de distancia se aleja de nosotros a 742 km/seg." Extraido de Bad Astronomy Blog.

La construccion de un átomo

Debo agradecer nuevamente a la gente de Microsiervos por mostrarme, nuevamente, una fabulosa herramienta. Esta herramienta se llama Build an Atom y sirve visualizar cómo son los átomos y cómo van creciendo y organizándose los electrones en las órbitas según se van haciendo más y más complejos. Sin dudas muy interesante para cualquiera que le cuesta imaginarse electrones girando alrededor de un nucleo.

El efecto SNARC

El efecto SNARC () consiste es que la gente toma decisiones numéricas más rápidamente si la mano que usan para responder coincide con el tamaño del número en cuestión: la izquierda es más rápida para los números pequeños y la derecha para los grandes. Lo cual es bastante curioso ya que implica que las personas ordenan los valores en su mente como en una linea a lo largo de ejes izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo.
Buscando un poco mas de información sobre este efecto me cruce con este PDF, escrito por Gonzalez Hernandez, que explica, algo aun mas curioso, que las personas ordenan los números, letras, meses, y cualquier secuencia de una manera espacial.
Se llega a esta conclucion despues de que Bächtold, Baumüller y Brugger (1998) pidieron a un grupo de participantes imaginar los números del 1 al 11 “como en una regla”, mientras que otro grupo debía hacerlo “como en un reloj”. El primer grupo mostró el conocido efecto SNARC, mientras que el segundo reveló el efecto opuesto: se respondía más rápido a los números mayores (los situados a la izquierda del reloj) con la mano izquierda, y a los menores con la derecha.

Diseño de los sistemas operativos entre 1981 y 2009

La gente de Web Designer Depot hicieron una recopilación de el aspecto de los sistemas operativos que fueron apareciendo desde el año 1981 hasta la actualidad.

El nombre de los colores

Esta semana mientras estaba naufragando por Internet me encontré una simpática pagina.
En Name That Color se tomaron la molestia de recopilar el nombre de los colores entonces uno moviendo el ratón por la paleta, escribiendo su código RGB hexadecimal o revisando la lista alfabética puede encontrar el nombre del color que mas le gusta.

Machete de formulas

Quien alguna vez no se hizo un machete para matemáticas?
Acá les dejo un lindo árbol con las formulas matemáticas mas significativas.

Que color es el Magenta?

Resulta que el magenta no es un color que NO pertenece al espectro visible del ser humano, como es que lo vemos?.
El magenta es un color compuesto por dos longitudes de onda: una de la zona del rojo y otra de la zona del violeta, esto produce una longitud de onda que nosotros no podemos ver. Lo que hace nuestro cerebro es interpretar lo que está viendo inventándose un color entre el rojo y el violeta. Como no tendría sentido confundirlo con el verde (que es donde "caería", más o menos) el mecanismo de interpretación nos "engaña" para que nos parezca que tiene un aspecto distinto.
A otros colores compuestos como el rosa o el "color café" les ocurre lo mismo, son sencillamente colores "inventados".

Como hacer para llegar al 2009

En un rato de esparcimiento encontré una nota que describe muchas maneras, algunas muy ingeniosas, de llegar al 2009.

Diferencia de cuadrados: 2009=452-42 = 10052-10042 =1472-1402

Producto de una suma por una diferencia similar: 2009=(50-1)(40+1)

Diferencia de un capicúa y el simétrico de 2009: 2009=11011 – 9002

Suma de los cuadrados de dos múltiplos consecutivos de 7: 2009=282+352

Suma de tres triangulares: 1 + 55 + 1953

Suma de capicúas: 2009=1111+898

Como diferencia de dos números primos: 2009 = 2011 - 2

Gracias Espejo Lúdico! =D