Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras: "

Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.

Introducción

Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.

Demostración mediante teselaciones del plano

Una teselación del plano es un forma de colocar figuras en una superficie plana de tal forma que dichas figuras no se superpongan y ademas no queden huecos sin cubrir.

Para esta demostración realizamos una teselación del plano con cuadrados de dos tamaños distintos como se puede ver en la Figura 1:

Figura 1: Teselación del plano con cuadrados de dos tamaños

Si marcamos ahora los centros de los cuadrados mayores y los unimos tendremos un conjunto nuevo de cuadrados de un tamaño algo mayor que los otros de tal forma que estos cuadrados constituyen otra teselación del plano. Podemos verlo en la siguiente imagen:

Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, inclinados en un determinado ángulo.

De hecho ocurre lo mismo se elegimos cualquier otro punto de los cuadrados mayores o de los menores.

Si se eligen las esquinas de los cuadrados, la estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que la anterior, sólo que desplazada mediante una traslación con respecto a los cuadrados de la Figura 1. La siguiente figura nos aclara este punto:

Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

Además tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla:

El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas y el grande con las otras tres.

Figura 4

Para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores (esto es, por las líneas que forma los cuadrados de la teselación inicial) pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños, como puede verse en la figura de la derecha.

Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos dicho que el área del cuadrado inclinado es igual a la suma de las áreas de los cuadrados iniciales. Llamemos al lado del cuadrado menor inicial, al lado del cuadrado mayor inicial y al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son, respectivamente, y . Y en consecuencia tenemos que .

Fijémonos ahora en el triángulo sombreado de la Figura 3. Su hipotenusa es el lado del cuadrado inclinado, es decir, . Y sus catetos son y . Además, por la colocación de los cuadrados iniciales, el triángulo es rectángulo. Por lo comentado antes sobre la relación de las áreas de los tres cuadrados ya tenemos demostrado el teorema de Pitágoras:

Demostración mediante figuras semejantes

Tomamos un triángulo rectángulo y lo dividimos en dos triángulos trazando la altura del mismo desde el vértice del ángulo recto (es decir, perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto). Es sencillo ver que los tres triángulos son semejantes entre sí (informalmente hablando, porque los tres tienen la misma forma pero diferentes tamaños). Vamos a ver la explicación que da Penrose en su libro sobre la deducción del teorema de Pitágoras a partir de dicha estructura:

Una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, es decir, su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de Pitágoras!

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.

Vamos a explicar un poco todo esto. Consideremos la figura anteriormente mencionada nombrando los lados del triángulo original como se puede ver en la Figura 5.

Llamemos al área del triángulo original y a las áreas correspondientes a los triángulos y . Por tanto, .

Como dichos triángulos (los pequeños) son semejantes, tenemos que las proporciones entre el área de cada uno de ellos y el cuadrado de su hipotenusa son iguales, esto es:

Pero por las propiedades de las fracciones, si tenemos dos fracciones iguales entonces cada una de ellas es igual a la fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores, esto es:

La última igualdad es cierta debido a que la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es el área del triángulo mayor.

Por otro lado, el triángulo inicial y el triángulo también son semejantes, por lo que cumplen una relación parecida, es decir:

Y uniendo la información proporcionada por las dos igualdades anteriores obtenemos lo siguiente:

Por tanto , esto es, hemos demostrado el teorema de Pitágoras.

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Fuente:

• El camino a la realidad, de Roger Penrose.

Entrada original.

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia: "

Esta mañana los laboratorios donde Fujitsu investiga sobre las tecnologías que serán cotidianas en el futuro han anunciado su nuevo sistema de recarga inalámbrica por resonancia.

Cuando algunos empiezan ya a acostumbrarse a los sistemas por inducción Fujitsu se ha descolgado con una alternativa también inalámbrica pero que usa una distinta tecnología. Además parece ser que esta transferencia por resonancia podría reducir los tiempos de carga a una centésima parte del tiempo habitual. ¿Deseas saber más?

El método de resonancia magnética sustituye a la inducción magnética que ya empieza a tener adeptos en la industria.

Al parecer las ventajas serían un menor tamaño de los componentes y la posibilidad de reducir los tiempos de carga en una proporción de 150 a 1. Otra ventaja sería la de permitir recargar distintos aparatos al mismo tiempo independientemente de la posición que ocupen en la superficie de recarga.

Fujitsu está planeando el lanzamiento de esta tecnología al mercado de los móviles para el año 2012 pero también continúa la investigación para su aplicación en el campo de los vehículos eléctricos. ─Antonio Rentero [Akihabara News]

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En que falla la Mecánica Clásica II

En el post anterior les mostré donde es que falla la mecánica clásica, en este post voy a intentar de explicar cual es la solución que propuso Einstein.
Volvamos al ejemplo, tenemos un tren que viaja sobre unas vias a una velocidad constante.
Tratemos de medir una parte del tren, para eso tomamos como punto de referencia al mismo tren, y lo medimos con una regla, ¿que pasa si queremos medir la misma porción de tren pero tomando como referencia la vía? A priori no podemos decir que la longitud del tren medido desde la vía de el mismo resultado que la longitud del tren medida desde el tren, esta afirmación la podemos hacer ya que por ejemplo la luz no recorre la misma distancia, en una cantidad de determinada, tomando como referencia al tren o a la vía (esto se deduce del post anterior).
La pregunta que nos hacemos es ¿como hay que modificar el razonamiento la eliminar las contradicciones anteriores? O sea, ¿cabe hallar alguna relación entre las posiciones y tiempos de los distintos sucesos con relación a ambos cuerpos de referencia, de manera que todo rayo de luz tenga la velocidad de propagación c respecto a las vías y respecto al tren?
Para solucionar estos problemas Einstein utilizo formulas ya existentes en el campo de la electrodinamica, las llamadas transformaciones de Lorentz.
Vayamos a las formulas, si tenemos x,y,z,t de un suceso respecto a K, ¿cuales son las coordenadas x´,y´,z´,t´ con respecto a K´del mismo suceso?



Como muestra la formula a velocidades bajas con respecto a la velocidad de la luz la aproximación que hace la mecánica clásica son buenas =D.
Pueden hacer las cuentas en cuanto difiere x de x´.
En próximos post vamos a analizar un poco mas y mejor estas transformaciones.

En que falla la Mecánica Clásica

Hace poco, por no decir un rato, termine de leer el excelente libro escrito por Albert Einstein titulado "Sobre la Teoría de la Relatividad". En el explica un poco lo que voy a tratar de escribir en este momento.
Como siempre la física se hace mucho mas fácil de explicar a través de un ejemplo, supongamos que tenemos un vagón de ferrocarril que viaja a una velocidad constante sobre unas vías y están rodeados de vacío. Vamos a tomar dos sistemas de referencias, uno sobre las vías que lo llamamos K y otro sobre el vagón que lo vamos a llamar K´. También sabemos que el vagón viaja a una velocidad v respecto al sistema de referencia K. Al mismo tiempo hay una persona sobre el vagón que camina a una velocidad w respecto al sistema de referencia K´.
Según la Mecánica Clásica, si queremos averiguar cual es la velocidad de la persona respecto al sistema de referencia K la ecuación que tenemos que resolver es,

W = v + w

Ahora, el vagón de ferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la misma dirección en que se propaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho más despacio. Lo que nos interesa averiguar es la velocidad de propagación del rayo de luz respecto al vagón. La formula tiene la misma forma que la anterior, siendo w la velocidad de la luz respecto a K´,

w = c - v

En este caso w va a ser menor que c, o sea, la velocidad de propagación de la luz en el vacío respecto a nuestro sistema de referencia K´ es menor a la velocidad de propagación de la luz en el vacío... Obviamente acá esta el problema! Ya que existe la ley de propagación de la luz en el vacío! esta ley lo que dice es que la velocidad de la luz (300000 Km/s) es constante en el vacío y no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor.
Para solucionar esta contradiccion es que Einstein desarrolló la Teoría de Relatividad General que en próximos post tratare de ir explicando.

Viajando en el tiempo

La mayoría de las personas sueñan con la posibilidad de viajar en el tiempo, pero realmente ¿a que se refieren con viajar en el tiempo? ¿que es el tiempo para ellos? ¿al viajar en el tiempo estamos presuponiendo la presencia física del pasado o el futuro, como se hace para viajar a algo que no existe? ¿que es viajar?.
Pensemos un segundo, que es viajar? Por ejemplo, si vamos de una ciudad a otra estamos viajando, entonces definamos Viajar como trasladarse de un lugar a otro.
Si tomamos al tiempo como la cuarta dimensión del espacio, que es viajar en el tiempo? Ni mas ni menos estamos hablando de trasladarnos de un "momento" a otro, ya que el tiempo, como esta definido en nuestra cultura, siempre avanza y no lo podemos detener, sin ninguna duda podemos decir que estamos en un continuo movimiento en el tiempo, es mas! podemos decir que estamos en un constante viaje hacia el futuro! Ok, no de la forma que nos gustaría o imaginábamos, o sea, no queremos esperar 1 hora para viajar 1 hora hacia el futuro.
Antes de ponernos a analizar como nos permite la física controlar el tiempo para movernos en él de la misma manera que lo hacemos en el espacio les propongo pensar las concecuencias filosóficas que esto tiene.
Si queremos viajar al pasado, lo primero que tenemos que tener en cuenta es que ese pasado debe existir físicamente, lo segundo es aun mas importante! tratar de no entrar en un paradoja que destruya todo el universo... por ejemplo matar a tu abuelo antes de que tu padre nazca, con eso lograrías que vos nunca existas en el presente, por lo tanto nunca podrías haber viajado al pasado para matar a tu abuelo...
Hay diferentes filosofias sobre el tiempo, las mas "populares" son el Presentismo, el Posibilismo y el Eternalismo.

El Presentismo, sólo se consideran las tres dimensiones de espacio, y no al tiempo como una cuarta, e ahí que aquí al tiempo se lo conciba de naturaleza distinta al espacio: en una dimensión hay extensión (podemos saltar de abajo a arriba y viceversa); pero si en el tiempo no hay extensión (porque lo único que existe es el presente, que es un límite, un punto) no podemos decir que es una dimensión.
Según este pensamiento la única manera de viajar en el tiempo es mediante la dilatación del tiempo, para esto es necesario adquirir una velocidad cercana a la de la luz, con respecto a los demás (o estar cerca de un campo gravitatorio intenso, según la Relatividad General) para que nuestro tiempo se dilate; cuando frenáramos veríamos que en el mundo ha transcurrido un tiempo mucho mayor al que estuvimos viajando.

El Posibilismo, plantea que el presente y el pasado tienen una realidad física, mientras que el futuro es solo una posibilidad. A diferencia del Presentismo, aquí el tiempo sí es una dimensión (tiene extensión), pero de naturaleza distinta al espacio, ya que se trata de una dimensión que está en constante crecimiento, expansión y flujo. Para entender un poco mejor esta teoría recordemos que el universo tiene 4 dimensiones espaciotiempo. Según el Posibilismo, el espaciotiempo es incompleto, y se va ‘construyendo’ mediante flujo del tiempo. Esto quiere decir que el futuro no está determinado y que cualquier posibilidad puede tener lugar. Notemos que este argumento se ve reforzado por las Relaciones de Indeterminación de Heisenberg (o “principio de incertidumbre”), que dice que cuanto más determinada está la posición de una partícula, menos determinada estará su velocidad y viceversa, lo que demuestra que, a grandes rasgos, el desenlace de los sucesos no está determinado por las condiciones iniciales.
Acá sigue siendo totalmente valida la forma de viajar planteada en el Presentismo, lo que nos sigue faltando es alguna manera de viajar inmediatamente al futuro, lo que si se hace posible es viajar inmediatamente a cualquier momento del pasado.

El Eternalismo, esta es la postura mantenida por Einstein, tanto el pasado, como el presente y el futuro, existen físicamente, formando la cuarta dimensión que constituye el espaciotiempo. Como hemos visto en artículos anteriores, la Teoría de la Relatividad nos muestra que el tiempo es sólo otra dimensión más de espacio. Decir que, por ejemplo, el pasado es más real que el futuro, es como decir que la derecha es más real que la izquierda. Considerar el tiempo como la cuarta dimensión del espaciotiempo, significa que debemos olvidarnos de la idea clásica de que el mundo es algo tridimensional que se va modelando con el tiempo. Los cuerpos se extienden no en tres sino en cuatro dimensiones. Para fijar ideas, el Universo “visto desde afuera” sería como un bloque estático, inmóvil, en donde se podría observar todo su desarrollo en lo que nosotros llamamos tiempo, con sólo dirigir la vista sobre una de las cuatro dimensiones que lo forman. Según la Relatividad, no hay nada que distinga el tiempo del espacio; el tiempo simplemente no ‘fluye’, como no fluyen las demás dimensiones de espacio. Quizá ese ‘fluir’ sea estudio de la Psicología, no de la Física, según el Eternalismo. Esto no quiere decir de ninguna manera que el tiempo como tal “no exista”; sabemos que es una dimensión más y que el pasado y futuro forman parte del espaciotiempo, pero el ‘flujo’, que lo distingue del espacio, aún no lo comprendemos.

Acomodemos un poco las ideas,
- Si el Presentismo es cierto, la única forma posible de viaje en el tiempo es el viaje al futuro mediante dilatación (esto es, la dilatación del tiempo que se adquiere al moverse a velocidades cercanas a la de la luz).
- Si el Posibilismo es cierto, es coherente lo anterior y además podemos plantearnos la posibilidad del salto instantáneo al pasado.
- Si el Eternalismo es cierto, es coherente todo lo antedicho y además el salto instantáneo al futuro.

Lamentablemente hoy la única manera de viajar al futuro ir descrubiendolo momento a momento =D.

El molino de luz (Radiómetro de Crookes)

El Radiómetro de Crookes es un curioso invento que consiste en una lamparita con el bulbo hacia arriba. Y en su interior tiene un eje vertical haciendo equilibrio sobre la punta de una aguja con cuatro paletas, plateadas de un lado y negras del otro.

El inventor es este elemento fue el científico Sir Williams Crookes, quien al tratar de utilizar una balanza al vació muy precisa noto que las mediciones variaban si la balanza estaba expuesta al sol. Entonces Crookes creo el radiómetro con la finalidad de demostrar que la luz se comportaba como partículas y como ondas al mismo tiempo.

Esto iba a suceder ya que la luz, al golpear la cara negra y la plateada al mismo tiempo, terminaría ejerciendo presión sobre la plateada, ya que ésta es la que refleja la luz, y la negra la absorbe.

Pero por alguna razón, el molino, al ser expuesto a la luz, gira con la parte negra atrás, como se puede ver en ese video.



Luego vino Piotr Lébedev, un ruso que hizo la deducción lógica que si la presión de la luz era la responsable del giro del aparato, cuanto menos presión de aire tuviese giraría más rápido, ya que habría menos aire que lo frenase. Por lo que en 1901, con una bomba de mejor calidad extrajo más aire aun y notó que llegaba un punto en el que no giraba más. Y de paso midió la presión de la luz con otro aparato más complejo, descubriendo que era tan pequeña que era imposible que hiciese girar al molinillo de ese modo.

Entonces? que es lo que hace girar al molino?
Se comenzó a esgrimir una teoría que decía que la luz calentaba las caras negras, excitando el gas de su superficie y haciendo que la vibración de éste empuje las paletas. Pero esto no tendría sentido porque aunque se movían más violentamente, disminuían su densidad, por lo que se equilibraría la fuerza ejercida por las moléculas de los dos lados de cada aspa.

El mismo Einstein se metió en esto también, y demostró que aunque la presión no se equilibraría exactamente de ambas caras en los bordes de las aspas, la fuerza resultante no alcanzaría para hacer girar tan rápidamente el molinillo.

Finalmente, la estuvo Osborne Reynolds que descubrió el efecto de transpiración térmica: que en superficies porosas, el gas fluye del lado frío al caliente. Y aunque las aspas de la vela no sean porosas, los bordes podrían generar un efecto similar a una porosidad.

Se puede llegar a la conclucion de que las aspas giran un poco por lo explicado por Einstein y otro poco por lo de Osborne, pero en realidad al día de hoy no se tiene la menor idea de que es lo que hace girar las aspas...

¿Que es la materia oscura?

Hoy me cruce con este interesante articulo que explica en forma de dialogo que es la materia oscura, y cuenta alguna de sus propiedades.
El articulo fue escrito por Miguel Santander García.