Efecto Túnel o Cómo la Cuántica se Ríe de Tí

Efecto Túnel o Cómo la Cuántica se Ríe de Tí: "

Por G de Galleta

El mundo cuántico está repleto de comportamientos y sucesos que escapan, no ya a la intuición, sino en gran medida a la comprensión de los mismos. Einstein renegó de ese mundo complejo y extraño, y dedicó muchos esfuerzos a intentar derrocar la teoría que él mismo contribuyó a crear (gracias al efecto fotoeléctrico). La paradoja EPR probablemente fuese uno de sus intentos más conocidos y casi exitosos para ello.

Pero lo cierto es que no lo consiguió. La mecánica cuántica se ha mantenido imbatible ante los ataques que ha sufrido, simplemente porque explica lo que ocurre en la realidad. El problema es interpretar esos resultados, entender qué significan realmente esos experimentos. En esta entrada hablaremos de uno de los efectos cuánticos más extraños, más útiles y peor explicados (a nivel divulgativo) de la física cuántica. El efecto túnel.

En pocas palabras, el efecto túnel permite que un electrón (o partícula cuántica) penetre en y atraviese una zona que, en principio, estaría prohibida. ¿Y a qué nos referimos con esto? Cuando decimos que la zona está prohibida para el electrón, nos referimos a que el electrón no tiene suficiente energía cinética (la que tiene debido a su velocidad, por hacer un análogo clásico) para atravesar esa zona, porque hay un potencial eléctrico, por ejemplo, que debería impedir su paso por ahí. Por poner un ejemplo más visual: supongamos que tenemos un cable conectado a una pila y una bombilla, formando un circuito, todo en el vacío, sin aire.

Imaginemos que la bombilla es una bombilla especial, de super-mega-bajo consumo, de tal manera que con que un solo electrón atraviese el filamento, ya se iluminaría.

Entonces cortamos un trocito de cable, de forma que la bombilla se apaga. Si pusiésemos los dos trozos de cable muy cerca, pero sin tocarse, la física clásica nos diría que no pasarían electrones a través del vacío, de forma que la bombilla no se encendería.

Sin embargo, según las leyes de la mecánica cuántica, el electrón podría pasar a través del vacío, saltando de uno a otro y pasando por esa “zona prohibida” en la que no hay material conductor por el que moverse. Ese es precisamente el efecto túnel.¿Y podríamos ver que se enciende la bombilla? Bueno, pues realmente no por varios motivos. El primero es que el efecto túnel no se produce siempre: como en todos los efectos cuánticos, estamos trabajando con probabilidades, por lo tanto, podremos calcular la probabilidad de que el electrón atraviese el vacío, pero no ocurrirá con todos los electrones que pasen por el cable, así que no se llegaría a encender la bombilla de forma continua.

Electrón grabado en la Universidad de Lund (pulsar para ver el video)

Por otro lado, este efecto depende de manera crítica de la distancia que tiene que atravesar el electrón, del ancho de esa distancia prohibida. La dependencia es exponencial decreciente con la distancia, esto es, que en cuanto aumenta la distancia la probabilidad de que ocurra disminuye exponencialmente. Matemáticamente (y que nadie se asuste con la fórmula) se puede poner como e^-2ks donde k esta relacionado con el momento del electrón (algo así como su velocidad) y S es la distancia que tiene que atravesar, es decir, el tamaño del espacio “prohibido” que debe superar.

Este comportamiento exponencial hace que observar este efecto sea realmente difícil.

Ahora uno se pregunta: ¿cuándo se produce, cómo se descubrió, cómo podemos observarlo?

Pues bien, se produce a nivel microscópico, lo que significa que no podemos observarlo de forma directa (el ejemplo anterior era una idealización, y no existen bombillas tan sensibles al paso de los electrones, ni siquiera en Ikea). De hecho, para observarlo (más exactamente, medirlo) experimentalmente, hubo que esperar al microscopio de efecto túnel en 1981.

En cuanto a cómo se descubrió, puedo decir que es una consecuencia de la ecuación de Schrödinger, y el primero que lo predijo fue Richard Feynman . Esta ecuación es la más básica que uno puede encontrar para predecir el comportamiento de un electrón, y su solución nos proporciona una fórmula para determinar la probabilidad de que una partícula se encuentre en un lugar determinado. Cuando uno la resuelve para el caso en el que hay una barrera de potencial, o zona prohibida para el electrón, entre dos zonas permitidas (el ejemplo del cable cortado), obtenemos una probabilidad distinta de cero de que atraviese de uno a otro. Es decir, el efecto túnel. No voy a entrar en detalles matemáticos, porque creo que sólo van a confundir más que ayudar, y aquél que quiera profundizar puede consultar la bibliografía.

Ahora bien, creo que puede ser difícil imaginar un ejemplo de una barrera de potencial. De hecho, este es uno de los motivos por los que creo que este efecto está mal explicado a nivel divulgativo. Generalmente, lo que suelen hacer los divulgadores (lo que yo he leído), es compararlo con el caso de una pelota y una colina. Veamos: suponen que lanzamos una pelota colina arriba. Si no le damos suficiente impulso, la pelota no tendrá energía para subir a lo alto de la misma, y luego bajar debido a la gravedad, así que nunca llegará al otro lado. Ahora bien, dicen, cuando tratamos el mundo cuántico, hay una probabilidad no nula de que la pelota pase “a través de la colina” y aparezca en el otro lado, aunque no tuviese energía suficiente.

El problema que le veo a esta explicación, es que conduce a un error que he visto que comete mucha gente, y que yo mismo cometí antes de estudiar la carrera. A saber: uno cree que la cuántica permite que la materia se atraviese, de tal forma que si pudiésemos producir ese efecto a nivel macroscópico, podríamos atravesar paredes y cosas así. ERROR.

En realidad la cuántica no dice que la materia pueda atravesarse. El símil no me parece correcto, porque una barrera de potencial no tiene masa. Sería más correcto decir que es un campo de fuerza que impediría que la partícula pasase por allí. Estoy seguro que el que propuso ese ejemplo (que no recuerdo en qué libro lo leí, lo siento), estaba pensando en el potencial gravitatorio que existe entre la parte baja y la alta de una colina, pero la gente que no está entrenada, fácilmente puede confundir la colina en sí y su materia o masa, con el potencial, que es lo único que nos interesaría en la explicación.

Pensándolo bien, podría hacerse un ejemplo con los Jedis. Podríamos imaginar que Han Solo, que no es Jedi, tiene la habilidad de sufrir efecto tunel en todo su cuerpo al mismo tiempo. Si un Jedi generase un campo de fuerza a su alrededor para “encarcelarle” (un Jedi del Lado Oscuro, claro), Han Solo, cuál electrón de 85 kg, podría atravesar el campo y salir, libre, al otro lado, gracias al efecto túnel. Eso es esencialmente lo que hacen los electrones en los microscopios de efecto túnel, y eso es lo que nos dice que deben hacer, la ecuación de Schrödinger.

Después de todo este rollo, alguien se puede preguntar que para que sirve esto, además de lo puramente académico. Como ya he ido comentando, existe un aparato que se llama Microscopio de Efecto Túnel, cuya invención les supuso el Nobel a Gerd Binning y Heini Rohrer. ¿Cómo funciona? Consiste en una punta metálica extremadamente pequeña, que se acerca al material que queremos observar hasta algo menos de 5 amstrongs. Entre la punta y el material, que debe ser conductor o semiconductor, se crea una pequeña diferencia de potencial (la barrera propiamente dicha) y se mide la microcorriente que se genera. Entonces, como sabemos de qué manera depende el efecto túnel de la distancia, podemos calcular esa distancia entre el último átomo de la punta, y la muestra. Así, haciendo que la punta se mueva por la superficie barriendola, obtenemos un mapa en relieve de la misma. Las imágenes tienen resoluciones atómicas. Además, la mayoría de STM permiten, cambiando la diferencia de potencial y haciéndola suficientemente fuerte, manipular átomos a nivel individual, tal y como hicieron en IBM. Pero en esto último, no interviene el efecto túnel.

Primera imagen generada y obtenida con un microscopio de efecto túnel por los laboratorios de IBM.

Dejo algunos enlaces a otros blogs y páginas que hablan también de este sorprendente efecto, y que seguro que explican más cosas que yo no he hecho. Así que no os quedéis con la curiosidad sin satisfacer:

Microscopio de efecto túnel:

• Wikipedia, no podía faltar


• Comentario sencillo y bien explicado de cómo funciona el STM


• Página de IBM en la que hablan también de corrales cuánticos y tienen sorprendentes imágenes


• Instituto de Nanociencia de Aragón

Efecto Túnel:

Aquí no queda más que poner algo de bibliografía más formal, por si alguien quiere consultarla:

• Física Cuántica. Carlos Sánchez del Río. Un clásico que requiere conocimientos algo avanzados de matemáticas y algo de física.


• Curso abreviado de física teórica, vol. 2. Landau y Lifshitz. Algo más avanzado que el anterior.


• El siempre recomendable Francis the Mule hablando de nuevos detalles del efecto túnel

Varios:

• Interesante historia de lo que le ocurriría a un hombre que disminuyese su tamaño, ¿qué se encontraría?


• Vista global a los avances y posibilidades de la nanotecnología


• Artículo sobre nanomáquinas que podrían aprovecharse del efecto túnel para funcionar mejor


• Sobre Richard Feynman, mi americano favorito I, II y III


• Y una recopilación de algunas citas de Feynman

Nota original.

¿Tanto para un cero?

¿Tanto para un cero?: "

Poco después del último récord de cálculo de decimales de , nos encontramos con un nuevo récord, pero de naturaleza distinta. Nicholas Sze, de Yahoo, ha calculado el dígito 2000 billones de y algunos de los cercanos a él. Pero para ello no ha calculado todos los anteriores, sino que ha utlizado ciertas técnicas para calcular partes de .

Para este cálculo ha utilizado 1000 ordenadores de Yahoo durante 23 días, aunque en realidad el cálculo ha supuesto 503 años en tiempo de CPU (casi nada). Para ello, Nicholas utilizó MapReduce, de Google (curioso, ¿verdad?), cuya utilidad es dividir ciertos problemas en otros menores para después combinar los resultados obtenidos. Al final, lo que Nicholas consiguió calcular fueron los decimales de desde la posición 1999999999999997 hasta la posición 2000000000000252.

Ah, por cierto, el decimal de que ocupa la posición 2000 billones es…un cero. Después de concoer este dato, más de un alumno mío pondría cara de asombro y pronunciaría la frase que titula esta entrada:

¿Tanto para un cero?

Más información en esta entrada de Microsiervos.

Nota original.

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras: "

Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.

Introducción

Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.

Demostración mediante teselaciones del plano

Una teselación del plano es un forma de colocar figuras en una superficie plana de tal forma que dichas figuras no se superpongan y ademas no queden huecos sin cubrir.

Para esta demostración realizamos una teselación del plano con cuadrados de dos tamaños distintos como se puede ver en la Figura 1:

Figura 1: Teselación del plano con cuadrados de dos tamaños

Si marcamos ahora los centros de los cuadrados mayores y los unimos tendremos un conjunto nuevo de cuadrados de un tamaño algo mayor que los otros de tal forma que estos cuadrados constituyen otra teselación del plano. Podemos verlo en la siguiente imagen:

Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, inclinados en un determinado ángulo.

De hecho ocurre lo mismo se elegimos cualquier otro punto de los cuadrados mayores o de los menores.

Si se eligen las esquinas de los cuadrados, la estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que la anterior, sólo que desplazada mediante una traslación con respecto a los cuadrados de la Figura 1. La siguiente figura nos aclara este punto:

Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

Además tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla:

El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas y el grande con las otras tres.

Figura 4

Para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores (esto es, por las líneas que forma los cuadrados de la teselación inicial) pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños, como puede verse en la figura de la derecha.

Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos dicho que el área del cuadrado inclinado es igual a la suma de las áreas de los cuadrados iniciales. Llamemos al lado del cuadrado menor inicial, al lado del cuadrado mayor inicial y al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son, respectivamente, y . Y en consecuencia tenemos que .

Fijémonos ahora en el triángulo sombreado de la Figura 3. Su hipotenusa es el lado del cuadrado inclinado, es decir, . Y sus catetos son y . Además, por la colocación de los cuadrados iniciales, el triángulo es rectángulo. Por lo comentado antes sobre la relación de las áreas de los tres cuadrados ya tenemos demostrado el teorema de Pitágoras:

Demostración mediante figuras semejantes

Tomamos un triángulo rectángulo y lo dividimos en dos triángulos trazando la altura del mismo desde el vértice del ángulo recto (es decir, perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto). Es sencillo ver que los tres triángulos son semejantes entre sí (informalmente hablando, porque los tres tienen la misma forma pero diferentes tamaños). Vamos a ver la explicación que da Penrose en su libro sobre la deducción del teorema de Pitágoras a partir de dicha estructura:

Una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, es decir, su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de Pitágoras!

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.

Vamos a explicar un poco todo esto. Consideremos la figura anteriormente mencionada nombrando los lados del triángulo original como se puede ver en la Figura 5.

Llamemos al área del triángulo original y a las áreas correspondientes a los triángulos y . Por tanto, .

Como dichos triángulos (los pequeños) son semejantes, tenemos que las proporciones entre el área de cada uno de ellos y el cuadrado de su hipotenusa son iguales, esto es:

Pero por las propiedades de las fracciones, si tenemos dos fracciones iguales entonces cada una de ellas es igual a la fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores, esto es:

La última igualdad es cierta debido a que la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es el área del triángulo mayor.

Por otro lado, el triángulo inicial y el triángulo también son semejantes, por lo que cumplen una relación parecida, es decir:

Y uniendo la información proporcionada por las dos igualdades anteriores obtenemos lo siguiente:

Por tanto , esto es, hemos demostrado el teorema de Pitágoras.

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Fuente:

• El camino a la realidad, de Roger Penrose.

Entrada original.

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia

Fujitsu presenta su tecnología de recarga de alta eficiencia por resonancia: "

Esta mañana los laboratorios donde Fujitsu investiga sobre las tecnologías que serán cotidianas en el futuro han anunciado su nuevo sistema de recarga inalámbrica por resonancia.

Cuando algunos empiezan ya a acostumbrarse a los sistemas por inducción Fujitsu se ha descolgado con una alternativa también inalámbrica pero que usa una distinta tecnología. Además parece ser que esta transferencia por resonancia podría reducir los tiempos de carga a una centésima parte del tiempo habitual. ¿Deseas saber más?

El método de resonancia magnética sustituye a la inducción magnética que ya empieza a tener adeptos en la industria.

Al parecer las ventajas serían un menor tamaño de los componentes y la posibilidad de reducir los tiempos de carga en una proporción de 150 a 1. Otra ventaja sería la de permitir recargar distintos aparatos al mismo tiempo independientemente de la posición que ocupen en la superficie de recarga.

Fujitsu está planeando el lanzamiento de esta tecnología al mercado de los móviles para el año 2012 pero también continúa la investigación para su aplicación en el campo de los vehículos eléctricos. ─Antonio Rentero [Akihabara News]

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